Propriétés de multiplication et d’addition pour le calcul mental
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L’addition et la multiplication sont des opérations mathématiques qui ont des propriétés peu explorées au primaire et au secondaire. Ils peuvent apporter une contribution significative à la calcul mental et rationaliser les résolutions de divers exercices. Ci-dessous, nous montrerons certaines de ces propriétés et donnerons des conseils sur la façon de les utiliser.
être le, B et ç des nombres réels, le propriété associative d’addition est comme suit:
(a + b) + c = a + (b + c)
LA propriété associative de multiplication est comme suit:
(a·b)·c = a·(b·c)
En d’autres termes, dans une « chaîne d’ajouts », peu importe quel nombre sera ajouté en premier. Le résultat final sera le même. Notez l’exemple ci-dessous :
24 + 13 + 7
En utilisant la propriété ci-dessus, nous aurons ce qui suit :
(24 + 13) + 7 = 24 + (13 + 7) = 24 + 20 = 44
être le et B des nombres réels, le propriété commutative d’addition est comme suit:
a + b = b + a
Et le propriété commutative de multiplication est comme suit:
a·b = b·a
En d’autres termes, cette propriété garantit que le résultat d’une multiplication ou d’une addition sera le même quel que soit l’ordre des facteurs. Par example:
32·60 = 60·32 = 1920
Si les deux propriétés ci-dessus sont combinées, en particulier pour l’addition, il est possible de calculer certaines expressions numériques beaucoup plus facilement. Regardez l’exemple:
22 – 5 + 7 + 18 – 5 + 24 + 13
Par commutativité, on peut réécrire l’expression ci-dessus comme suit :
22+ 18 + 13 + 7 + 24 – 5 – 5
Par associativité, on peut choisir l’ordre d’addition qui facilite les calculs ci-dessus. Voir un exemple :
(22+ 18) + (13 + 7) + (24 – 5 – 5)
40 + 20 + (24 – 5 – 5)
Notez que nous pouvons réutiliser la propriété associative sur des nombres déjà entre parenthèses. Nous allons d’abord ajouter les nombres négatifs, puis nous allons réduire le résultat à 24 :
40 + 20 + (24 – 5 – 5)
40 + 20 + (24 – 10)
40 + 20 + 14
60 + 14
74
Les puissances de 10 sont 10, 100, 1000, … qui peuvent s’écrire sous la forme : 101, 102, 103, …
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Il n’est pas nécessaire d’effectuer tout le processus de l’algorithme de multiplication lorsqu’il fait intervenir l’un de ces nombres. Pour effectuer cette multiplication, placez à la fin de l’autre facteur le nombre de zéros (ou l’exposant de la puissance 10) qui le multiplie. Par example:
125·10000 = 1250000
Ajoutez simplement quatre zéros après le 125. Ce sera le résultat de la multiplication ci-dessus.
Lorsque la multiplication implique des multiples de 10, la procédure est similaire mais dépend d’une étape initiale.
Comptez combien de zéros les multiples de 10 ont et multipliez seulement sa partie initiale, qui a d’autres chiffres. Les zéros qui ont été comptés doivent être placés à la fin de ce résultat partiel, comme dans l’exemple suivant :
432 000 ·50500
Notez que, pour ce calcul, seuls les zéros qui apparaissent après le dernier chiffre non nul du numéro doivent être « séparés ». Dans cet exemple, ils sont surlignés en rouge.
Faites la multiplication suivante et placez 5 zéros à la fin du résultat partiel.
432·505 = 2181600000
Ce sera le résultat de la multiplication demandée au début.
Étant donné les vrais nombres le, B et ç, la propriété distributive de la multiplication sur l’addition dit ce qui suit :
a(b+c) = a·b + a·c
Cette propriété peut être utilisée comme suit :
S’il est nécessaire d’effectuer une multiplication à deux facteurs, il est possible de décomposer l’un des facteurs en une somme, de multiplier séparément et d’ajouter les résultats plus tard. Notez l’exemple ci-dessous :
432·50 =
(400 + 30 + 2) · 50 =
400,50 + 30,50 + 2,50 =
En utilisant la multiplication par des multiples de 10, nous pouvons dire que 400,50 = 4,5(000) = 20000. Ces calculs peuvent être effectués mentalement avec facilité. Il suffit de multiplier 4 par 5 et d’ajouter 3 zéros au résultat. Ainsi, 30,50 = 1500 et 2,50 = 100. Logo :
400,50 + 30,50 + 2,50 =
20000 + 1500 + 100 =
21600
Ce dernier ajout peut également être fait mentalement avec facilité.
Les deux autres propriétés de multiplication et d’addition sont liées à l’existence d’un élément neutre et à l’existence d’un élément inverse, cependant, elles ne contribuent pas de manière significative au calcul mental. Plus d’informations à leur sujet peuvent être trouvées dans le texte « Propriétés de la multiplication d’entiers”.
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