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Tout au long du module, l’étude des inégalités – qui relèvent de l’Enem – sera divisée en quelques parties. Nous rappellerons les symboles de comparaison et aborderons également les différents types à travers une réflexion et l’élaboration d’exercices. Enfin, nous montrerons comment résoudre l’inégalité lorsqu’il existe une composition de fonctions.
Symbologie
Choisissez n’importe quel nombre, par exemple cinq. Ainsi, le marquer sur la droite numérique aura le dessin :
Quels sont les nombres à droite de 5 ? Nous avons, par exemple, le 5.23, ou 6, ou 7.943, ou 8.11 etc. Ces nombres ont quelque chose en commun, ils sont tous supérieurs à 5. On écrit donc : 5 $$$leq$$$ 5.23 , 6 > 5 , 5 < 7.943 et 8.11$$$leq$$$ 5. Notez que le « bec » du symbole est toujours pointé sur le plus petit nombre.
Autre question : qu’est-ce que ce tiret sous le symbole « < » ou « > » ? Il est le symbole des égaux. Ainsi, lorsque nous écrivons 8.11 $$$geq$$$ 5, nous disons que 8.11 est supérieur ou égal à 5. Dans ce cas, 8.11 est supérieur. Cependant, nous pourrions écrire sans problème : 5 $$$leq$$$ 5, puisque 5 est égal à 5 . Mais jamais 5 < 5, puisque 5 n'est pas inférieur à lui-même.
Rappelez-vous si : ces symboles de « < », « > », « ≤ » et « ≥ » sont des symboles faits pour la comparaison. Et c’est ce qui détermine la définition même de l’inégalité : trouver des nombres qui satisfont à ces comparaisons.
Résoudre les inégalités :
a) x – 5 > 9
La question qui se pose est : quelles sont les valeurs qui ont supprimé 5 unités sont supérieures à 9 ? Pour que cela se produise, ces nombres doivent être supérieurs à 14. Parce que, 14 – 5 = 9. Notre réponse est donc x > 14. Mais quelle est la relation entre le 5 et le 9 qui fait 14 ? Il suffit de les additionner. Donc, au fond, résoudre une inégalité comme celle-ci n’est pas si différent de résoudre une équation. Regardons un autre exemple.
b) 2x + 6 < 30
Pour que 2x + 6 soit inférieur à trente, seulement 2x est inférieur à 24 (30-6). Ainsi, x doit être inférieur à 12. La réponse x est inférieure à 12. Ou en d’autres termes :
2x < 30 - 6
2x < 24
x < 24/2
Réponse : x < 12
c) 15 – x < 12
-x < 12 - 15
-x < -3
Réfléchissons un peu à ce à quoi ressemblera notre réponse. Quels sont les nombres qui, lors du changement de signe, sont inférieurs à -3 ? Le 4, ou le 2, ou le 765.43. Autrement dit, ce sont des nombres supérieurs à trois. Notre réponse finale est donc : x > 3. Le conseil ici est donc : si le x devient négatif, changez la direction du signe. Regardons un autre exemple :
d) -3x + 14 -95
-3x -95 – 14
-3x -109-x < -3
x $$$geq -109 over -3$$$
Réponse : x $$$geq 109 over 3$$$
e) $$$10^5-15x >1$$$
$$$10^5-15x >10^0$$$
5 – 15x >0
-15x > -5
x < 1/3
Réponse : x < 1/3
f) bûche$$$_3$$$ (2x-10) > 4
2x – 10 > 3$$$^4$$$
2x – 10 > 81
2x > 81 + 10
2x > 91
x > 91/2
N’oubliez pas non plus que 2x – 10 > 0. Ou 2x > 10. x > 10/2 . x > 5. Puisque 91/2 est supérieur à 5, alors notre réponse finale sera x > 91/2.
g) |3x – 18| $$$geq$$$ 27
Pour que le module ait une valeur supérieure à 27, seulement 3x -18 est supérieur à 27 ou 3x – 18 est inférieur à -27. On aura alors :
R : 7/4 < x < 17/4
je) cos(2x – 6) > $$$1plus de 2$$$
Demandez-vous : quel angle a un cosinus égal à 1/2 ? 60º ou en radians, /3. A l’aide du cycle trigonométrique, il est facile de voir que les angles supérieurs à /3 et inférieurs à 5π/3 satisfont à la condition. Ainsi que tous vos tours complets. Par conséquent:
Composition des rôles
j) $$$(2x-8)(5-10x)(x+9) over (20-4x)$$$ > 0
Notez que la fraction doit être supérieure à zéro, c’est-à-dire que le signe de la fraction est positif. Ainsi, le numérateur et le dénominateur doivent avoir le même signe. Pour cela, reprenons les signes de chaque fonction puis délimitons les résultats qui nous intéressent :
2x-8 :
être positif : 2x -8 > 0 , puis 2x > 8, x > 4
être négatif : 2x – 8 < 0, puis 2x < 8 et x < 4
5-10x :
être positif : 5 – 10x > 0 , puis -10x > -5, x < 1/2
être négatif : x > ½
x+9 :
être positif : x + 9 > 0 , alors x > -9
être négatif : x < -9
20-4x :
être positif : 20 – 4x > 0 , puis -4x > -20, x < 5
être négatif : x > 5
Notez que pour que le numérateur et le dénominateur aient le même signe, toutes les fonctions sont positives. Ou que 2x -8 et 20 – 4x sont négatifs et le reste est positif. Ou, 5-10x et x+9 négatifs et tous positifs. En d’autres termes, il existe de nombreuses possibilités et pour améliorer la compréhension, dressons une image de toutes celles-ci :
| 2x-8 | 5-10x | x+9 | 20-4x | Fraction |
| + | + | + | + | + |
| + | – | – | + | + |
| + | – | + | – | + |
| – | – | – | – | + |
| – | – | + | + | + |
| – | + | – | + | + |
| – | + | + | – | + |
Mais ces combinaisons ne peuvent se produire que dans les intervalles que nous avons analysés ci-dessus :
| 2x-8 | 5-10x | x+9 | 20-4x | Fraction |
| x > 4 | x < 1/2 | x > -9 | x < 5 | N’existe pas! |
| x > 4 | x > 1/2 | x < -9 | x < 5 | N’existe pas! |
| x > 4 | x > 1/2 | x > -9 | x > 5 | x > 5 |
| x < 4 | x > 1/2 | x < -9 | x > 5 | N’existe pas! |
| x < 4 | x > 1/2 | x > -9 | x < 5 | ½ < x < 4 |
| x < 4 | x < 1/2 | x < -9 | x < 5 | x < -9 |
| x < 4 | x < 1/2 | x > -9 | x > 5 | N’existe pas! |
Notez que la deuxième ligne n’existe pas, car il n’y a pas de nombre supérieur à 4 et inférieur à -9. Les autres lignes qui n’existent pas ont aussi des explications très similaires.
Notre réponse est donc x < -9 ou ½ < x < 4 ou x > 5. Ou alors, (-$$$infty$$$, – 9) U (1/24) U (5,+$$ $ infty$$$)
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