Nombres complexes I – Quelque chose à propos
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Un peu d’histoire
Au XVIe siècle, les mathématiciens Cardano et Bombelli, entre autres, firent quelques progrès dans l’étude des racines carrées des nombres négatifs. Deux siècles plus tard, ces études furent prolongées par Wesses, Argand et Gauss. Ces mathématiciens sont considérés comme les créateurs de la théorie des nombres complexes. La théorie des nombres complexes a une large application dans les études les plus avancées de l’électricité.
Unité imaginaire : l’unité imaginaire est définie, représentée par la lettre je , comme racine carrée
dans -1. Vous pouvez alors écrire : i = -1 .
Notez qu’à partir de cette définition, certaines opérations avec des nombres réels prennent tout leur sens, comme les racines carrées de nombres négatifs.
Ex : -16 = 16 . -1 = 4.i = 4i
i Pouvoirs :
i0 = 1
i1 = je
i2 = -1
i3 = i2 . je = -i
i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1
i5 = i4 . je = 1.i = je
i6 = i5 . je = je . i = i2 = -1
i7 = i6 . i = -i , etc.
On remarque que les valeurs des puissances de i se répètent dans le cycle
1 , i , -1 , -i , tous les quatre à partir de l’exposant zéro.
Par conséquent, pour calculer une puissance entière de i , il suffit de l’élever au reste de la division de l’exposant par 4. Ainsi , nous pouvons résumer :
i4n = aller où r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r est le reste de la division de n par 4).
Exemple : calculez i2001
Maintenant, en divisant 2001 par 4, nous obtenons un reste égal à 1. D’où i2001 = i1 = i .
NOMBRE COMPLEXE
Définition: Étant donné deux nombres réels a et b , le nombre complexe z est défini comme :
z = a + bi, où i = Ö-1 est l’unité imaginaire.
Exs : z = 2 + 3i (a = 2 et b = 3)
w = -3 -5i (a = -3 et b = -5)
u = 100i (a = 0 et b = 100)
NOTES :
a) on dit que z = a + bi est la forme binomiale ou algébrique du complexe z .
b) étant donné le nombre complexe z = a + bi , a est appelé la partie réelle et b la partie imaginaire.
Écrire : a = Re(z) ; b = Im(z) .
c) si en z = a + bi on a a = 0 et b différent de zéro, on dit que z est un imaginaire pur . Ex : z = 3i .
d) si en z = a + bi on a b = 0 , on dit que z est un nombre réel.
Ex : z = 5 = 5 + 0i .
e) à partir du point (c) ci-dessus, nous concluons que tout nombre réel est complexe, c’est-à-dire
l’ensemble des nombres réels est un sous-ensemble de l’ensemble des nombres complexes.
f) un nombre complexe z = a + bi peut également être représenté comme une paire ordonnée z = (a,b) .
Exercices résolus :
1) Si z = (m2 – 5m + 6) + (m2 – 1) i , déterminez m tel que z soit un imaginaire pur.
Solution: Pour que le complexe z soit un imaginaire pur, sa partie réelle doit être nulle, c’est-à-dire qu’il faut avoir
m2 – 5m + 6 = 0, ce qui résolu nous trouvons m=2 ou m=3.
2) Déterminer la partie réelle du nombre complexe z = (1 + i)12 .
Solution: Notez que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Dans ces conditions, nous développerons le produit remarquable
(1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i (1 + i)2 = 2i (c’est une propriété importante, à retenir).
En substituant dans l’expression donnée, vient :
(1 + je)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = – 64.
Par conséquent, le nombre complexe donné devient z = – 64 = – 64 + 0i et donc sa partie réelle est égale à -64.
3) Déterminer la partie imaginaire du nombre complexe z = (1 – i)200 .
Solution: On peut écrire le complexe z sous la forme : z = [(1 – i)2]100 . Développer le produit remarquable
(1 – i)2 = 12 – 2.i + i2 = 1 – 2i -1 = – 2i (1 – i)2 = – 2i (c’est une propriété importante qui mérite d’être mémorisée).
En substituant dans l’expression donnée, vient :
z = (-2i)100 = (-2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . (i2)50 = 2100. (-1)50 = 2100. 1 = 2100.
Ainsi, le nombre complexe z est égal à 2100 et donc un nombre réel. On conclut donc que sa partie imaginaire est nulle.
CONJUGUÉ DE NOMBRE COMPLEXE
Étant donné un nombre complexe z = a + bi , il est appelé conjugué de z et est représenté par , à un autre nombre complexe qui a la même partie réelle de z et la partie imaginaire l’additif symétrique de la partie imaginaire de z .
z = a + bi ® = le – bi
Ex : z = 3 + 5i ; = 3 – 5i
Remarque : Nous savons que les nombres complexes peuvent également être représentés sous forme de paires ordonnées. Donc z = a + bi = (a,b).
Ainsi, par analogie avec le système de coordonnées cartésiennes, tout nombre complexe z peut être représenté graphiquement dans un système de coordonnées cartésiennes, en marquant simplement la partie réelle a sur l’axe horizontal et la partie imaginaire b sur l’axe vertical. Dans ce cas, l’axe horizontal est appelé axe réel et l’axe vertical est appelé axe imaginaire. Le plan cartésien, dans ce cas, est appelé plan d’Argand-Gauss.
Le point qui représente le nombre complexe z est appelé l’affixe de z.
DIVISION DE NOMBRES COMPLEXES SOUS FORME BINOMIAL
Règle : Pour diviser un nombre complexe z par un autre w 0 , il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué complexe du dénominateur .
Par exemple = = = 0,8 + 0,1 i
Maintenant que vous avez étudié la théorie, essayez de résoudre les exercices suivants :
1 – Calculer le nombre complexe i126 + i-126 + i31 – i180
2 – Où z = 5i + 3i2 – 2i3 + 4i27 et w = 2i12 – 3i15,
calculer Im(z).w + Im(w).z .
3 – UCMG – Le nombre complexe 2z, tel que 5z + = 12 + 6i Son:
4 – UCSal – Pour le produit (a+i). (3-2i) est réel, un doit être :
5 – UFBA – Si a = -4 + 3i , b = 5 – 6i et c = 4 – 3i , la valeur de ac+b est :
6 – Mackenzie-SP – La valeur de l’expression y = i + i2 + i3 + … + i1001 est :
7) Trouver l’entier naturel n tel que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.
Réponse : 3
Cliquez ici pour voir la solution.
8) Calculer [(1+i)80 + (1+i)82] : i96 240
Réponse : 1+2i
9) Si les nombres complexes zew sont tels que z = 2-5i et w = a+bi , sachant que z+w est un nombre réel et zw .est un imaginaire pur , on demande de calculer la valeur de b2-2a .
Réponse : 50
10) Si le nombre complexe z = 1-i est l’une des racines de l’équation x10 + a = 0 , alors trouvez la valeur de a.
Réponse : 32i
11) Trouver le nombre complexe z tel que iz + 2 . + 1 – je = 0.
12 – UEFS-92.1 – La valeur de l’expression E = x-1 + x2, pour x = 1 – i , est :
a)-3i
b)1-i
c) 5/2 + (5/2)i
d) 5/2 – (3/2)i
e) ½ – (3/2)i
13 -UEFS-93.2 – En simplifiant l’expression E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , on obtient :
a) -1+2i
b) 1+2i
c) 1 – 2i
d) 3 – 4i
e) 3 + 4i
14 – UEFS-93.2 – Si m – 1 + ni = (3+i).(1 + 3i), alors les hommes sont respectivement :
a) 1 et 10
b) 5 et 10
c) 7 et 9
d) 5 et 9
e) 0 et -9
15 – UEFS-94.1 – La somme d’un nombre complexe z avec le triple de son conjugué est égale à -8 – 6i. Le module de z est :
a) 13
b) 7
c) 13
d) 7
e) 5
16 – FESP/UPE – Soit z = 1+i , où i est l’unité imaginaire. On peut dire que z8 est égal à :
a) 16
b) 161
c) 32
d) 32i
e) 32+16i
17 – UCSal – Sachant que (1+i)22 = 2i, alors la valeur de l’expression
y = (1+i)48 – (1+i)49 est :
a) 1 + je
b) -1 + je
c) 224 . je
d) 248 . je
e) -224 . je
RÉTROACTION:
1) -3 – je
2) -3 + 18i
3) 4 + 3i
4) 3/2
5) -2 + 18i
6) je
7) 3
8) 1 + 2i
9) 50
10) 32i
11) -1 – je
12) B
13) D
14) Le
15) Le
16) Le
17) ET
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